Question

已知抛物线C₁：y²=4x和C₂：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，C₁，C₂交于O，A两点（O为坐标原点），且F₁F₂⊥OA．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，点P坐标为（-1，-1），求△PMN面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

F1F2

=（-1，

p

2

），联立

y2=4x x2=2py

，解得

x=0 y=0

，或

x= 3 16p2 y= 3 32p

，得到

OA

=(

3	16p2

，

3	32p

)，由此能求出C₂的方程．
（2）设过O的直线方程为y=kx，联立

y=kx y2=4x

，得M（

4

k2

，

4

k

），联立

y=kx y2=4x

，得N（4k，4k²），由此利用点到直线的距离公式能求出△PMN面积取得最小值．

解答： 解：（1）由已知得：F₁（1，0），F2(0，

p

2

)，∴

F1F2

=（-1，

p

2

），…（1分）
联立

y2=4x x2=2py

，解得

x=0 y=0

，或

x= 3 16p2 y= 3 32p

，
即O（0，0），A（

3	16p2

，

3	32p

），
∴

OA

=(

3	16p2

，

3	32p

)，…（3分）
∵F₁F₂⊥OA，∴

F1F2

•

OA

=0，
即-

3	16p2

+

p

2

3	32p

=0，解得p=2，∴C₂的方程为x²=4y．…（5分）
（2）设过O的直线方程为y=kx，（k＜0），
联立

y=kx y2=4x

，得M（

4

k2

，

4

k

），联立

y=kx y2=4x

，得N（4k，4k²），…（7分）
P（-1，-1）在直线y=x上，设点M到直线y=x的距离为d₁，点N到直线y=x的距离为d₂，
则S_△PMN=

1

2

•|OP|•（|d₁|+|d₂|）…（8分）
=

1

2

×

2

×（

| 4 k2 - 4 k |

2

+

|4k-4k2|

2

）
=2（|

1

k

-

1

k2

|+|k-k²|）
=2（-

1

k

-k+

1

k2

+k2）…（10分）
≥2(2

(- 1 k )•(-k)

+2

1 k2 •k2

)=8，
当且仅当k=-1时，“=”成立，即当过原点直线为y=-x时，…（11分）
△PMN面积取得最小值8．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．