Question

5．下列命题，正确命题个数为（　　）
①若tanA•tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC一定是等边三角形；
④在锐角三角形ABC中，一定有sinA＞cosB．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C为锐角判断①；由已知得到2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$判断②；根据|cosx|≤1，不等式可转换为cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，进而得出结论判断③；由三角形ABC为锐角三角形得到A+B＞90°，得A＞90°-B，进一步得到sinA＞sin（90°-B）=cosB判断④．

解答 解：①∵tanA•tanB＞1，
∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
由tanA•tanB＞1，得sinAsinB＞cosAcosB，即cos（A+B）＜0，
∴A+B为钝角，故C为锐角，则△ABC一定是锐角三角形，故①错误；
②若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵|cosx|≤1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，
∵A、B、C＜180°，∴A-B=B-C=C-A=0，则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形，故③正确；
④在锐角△ABC中，有A+B＞90°，
∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，故④正确．
∴正确的命题有2个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形的解法，是中档题．