题目内容

13．已知复数${z_1}=\frac{15-5i}{{{{（2+i）}^2}}}，{z_2}=a-3i（a∈R）$．
（1）若a=2，求${z_1}•\overline{z_2}$；
（2）若$z=\frac{z_1}{z_2}$是纯虚数，求a的值．

分析 （1）利用复数的运算法则化简z1，进而得出．
（2）利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）z1=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=1-3i．
a=2时，∴${z_1}•\overline{z_2}$=（1-3i）（2+3i）=11-3i．
（2）$z=\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{1-3i}{a-3i}$=$\frac{（1-3i）（a+3i）}{（a-3i）（a+3i）}$=$\frac{a+9+（3-3a）i}{{a}^{2}+9}$是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+9=0}\\{3-3a≠0}\end{array}\right.$，a=-9．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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3．某品牌汽车的4S店对最近60位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：
付款方式分1期分2期分3期分4期
频数20a14b
已知分4期付款的频率为$\frac{1}{6}$，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为2万元，分4期付款其利润为3万元，以频率作为概率．
（1）求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（2）用X表示销售一两该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望E（X）．
4．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=$\frac{3}{2}$．
（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$（S△OAB表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
1．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx+cosωx（ω＞0）$的最小正周期为π，把f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数R的图象．则g（x）的解析式为（　　）
A．g（x）=2sin2xB．$g（x）=2sin（2x+\frac{2π}{3}）$C．g（x）=2cos2xD．$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
8．若由一个2×2 列联表中的数据计算得K2的观测值k≈4.013，那么在犯错的概率不超过0.05的前提下，认为两个变量之间有关系．
18．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左、右顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线l与该椭圆相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
5．下列命题，正确命题个数为（　　）
①若tanA•tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC一定是等边三角形；
④在锐角三角形ABC中，一定有sinA＞cosB．
A．1B．2C．3D．4
2．设函数f（x）=x（x+k）（x+2k），且f′（0）=8，则k=（　　）
A．2B．-2C．±2D．±1
3．若函数f（x）=2sin2（ωx）+2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{2}}$）-1（ω＞0）的最小正周期为1，则ω=π，函数f（x）在区间[-$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}}$]上的值域为[0，2$\sqrt{3}$-1]．

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