Question

15．已知集合A={a₁，a₂，…a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，集合A具有性质M：对于任意的x，y∈A（x≠y），都有$|{x-y}|＞\frac{xy}{25}$
（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$
（Ⅲ）求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用性质对任意的x，y∈A，x，y∈A（x≠y），都有$|{x-y}|＞\frac{xy}{25}$，代入可判断
（Ⅱ）依题意有：${|a}_{i}-{a}_{i+1}|≥\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，3…n-1），又a₁＜a₂＜…＜a_n，因此：${a}_{i+1}-{a}_{i}≥\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，3…n-1），由此能够证明：$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$．
（Ⅲ）由$\frac{1}{a_1}≥\frac{n-1}{25}$，a≥1可得由$1＞\frac{n-1}{25}$，因此n＜26，同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，可得，$\frac{1}{{a}_{i}}＞\frac{n-i}{25}$．由此能够推导出集合A中元素个数的最大值．

解答 解：（I）由于|1-2|≥$\frac{1×2}{25}$，|1-3|≥$\frac{1×3}{25}$，|1-4|$≥\frac{1×4}{25}$，|2-3|≥$\frac{2×3}{25}$，|2-4|$≥\frac{2×4}{25}$，|3-4|$≥\frac{3×4}{25}$
∴集合{1，2，3，4}具有性质P；
（Ⅱ）依题意有：${|a}_{i}-{a}_{i+1}|≥\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，3…n-1），又a₁＜a₂＜…＜a_n，
因此：${a}_{i+1}-{a}_{i}≥\frac{{a}_{i}{a}_{i+1}}{25}$（i=1，2，3…n-1）
可得：$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n+i}}≥\frac{1}{25}$，（i=1，2，3…n-1）
所以有：$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥$$\frac{n-1}{25}$，即$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n}≥\frac{n-1}{25}$．
得证；
（Ⅲ）由$\frac{1}{a_1}≥\frac{n-1}{25}$，a≥1，可得$1＞\frac{n-1}{25}$，因此n＜26，同理$\frac{1}{{a}_{i}}-\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{n-i}{25}$，可得，$\frac{1}{{a}_{i}}＞\frac{n-i}{25}$．
又∵a_i≥i，可得$\frac{1}{i}＞\frac{n-i}{25}$，那么：25＞i（n-i），（i=1，2，3…n-1）也均成立．
当n≥10时，取i=5，则i（n-i）=5（n-5）≥25，可知n＜10．
又当n≤9时，$i（n-i）≤（\frac{i+n-i}{2}）^{2}=\frac{{n}^{2}}{2}＜25$，所以n≤9
因此集合A中元素个数的最大值为9．

点评 本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化和变形．属于难题．