Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离与到直线l的距离相等．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线y=

3

x+b与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义，可求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）解法一：直线与抛物线联立，解得D点的横坐标，计算出|FD|，|AB|，利用FABD为平行四边形，所以|AB|=|FD|，建立方程，即可求b的值；解法二：先求出D的坐标，再分类讨论，利用韦达定理，结合四边形是平行四边形，所以

FA

+

FD

=

FB

，即可求b的值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，动点P的轨迹C是以F（1，0）为焦点，l：x=-1为准线的抛物线，
设轨迹C的方程为y²=2px（p＞0），则p=2所以动点P的轨迹C的方程为 y²=4x，
（Ⅱ）解法一：因为F（1，0），故直线FD的方程为y=

3

(x-1)，
联立方程组

y= 3 (x-1) y2=4x

消元得：3x²-10x+3=0，解得D点的横坐标为x=3或x=

1

3

．
由抛物线定义知：|FD|=x+

p

2

=4或

4

3

，
又由

y= 3 x+b y2=4x

消元得：

3

y2-4y+4b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=16-16

3

b＞0且

y1+y2= 4 3 y1•y2= 4b 3

  
所以|AB|=

1+3

•|y₁-y₂|=

8

3

•

1- 3 b

，
因为FABD为平行四边形，所以|AB|=|FD|，
所以

8

3

•

1- 3 b

=4或

4

3

，
解得b=-

5 3

12

或

3

4

，代入△＞0成立．
解法二：因为F（1，0），故直线FD的方程为y=

3

(x-1)，
联立方程组

y= 3 (x-1) y2=4x

消元得：3x²-10x+3=0，解得x=3或x=

1

3

，
故点D(3，2

3

)或D(

1

3

，-

2 3

3

)，
当D(3，2

3

)时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组

y= 3 x+b y2=4x

消元得：3x2+(2

3

b-4)x+b2=0（*）
根据韦达定理有x1+x2=-

2 3 b-4

3

①，x1•x2=

b2

3

②，
又因为四边形是平行四边形，所以

FA

+

FD

=

FB

，将坐标代入有x₂=x₁+2③，
代入①有x1=

- 3 b-1

3

，x2=

- 3 b+5

3

，
代入②有

- 3 b-1

3

•

- 3 b+5

3

=

b2

3

，整理得b=-

5 3

12

此时（*）的判别式△＞0，符合题意
当D(

1

3

，-

2 3

3

)时，同理可解得b=

3

4

．

点评：定义法是求圆锥曲线方程的重要方法，解决直线与圆锥曲线位置关系问题，通常联立方程．