Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，F为右焦点，点A、B分别为左、右顶点，椭圆E上的点到F的最短距离为1
（l）求椭圆E的方程；
（2）设t∈R且t≠0，过点M（4，t）的直线MA，MB与椭圆E分别交于点P，Q．求证：点P，F，Q共线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件知

c

a

=

1

2

，所以设E的方程设为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，再由当x₀=2c时，|HF|_min=c=1，能求出椭圆E的方程．
（2）由A（-2，0），B（2，0），过点M（4，t）的直线MA，MB与椭圆E分别交于点P，Q，设MA的方程为y=

t

6

(x+2)，联立方程组

y= t 6 (x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得(27+t2)x2+4t

2

x+(4t2-108)=0，由此能证明t∈R，且t≠0，点P、F、Q三点共线．

解答： （1）解：由椭圆E的离心率为

1

2

，得

c

a

=

1

2

，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∴E的方程设为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
设椭圆上的动点H（x₀，y₀），（-2c≤x₀≤2c），
∵F（c，0），∴|HF|=

(x0-c)2+y02

，①
又由

x02

4c2

+

y02

3c2

=1，即y02=3c2-

3

4

x02，②
②代入①整理，得|HF|=

1 4 (x0-4c)2

，（-2c≤x₀≤2c），
∴当x₀=2c时，|HF|_min=c=1
∴所求椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：由（1）知A（-2，0），B（2，0），
∵过点M（4，t）的直线MA，MB与椭圆E分别交于点P，Q，
∴kMA=

t

6

，kMB=

t

2

，
∴MA的方程为y=

t

6

(x+2)，
联立方程组

y= t 6 (x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得(27+t2)x2+4t

2

x+(4t2-108)=0，
∴x_A+x_P=

-4t2

27+t2

，
∴xP=

-4t2

27+t2

-xA=

54-2t2

27+t2

，
代入MA的方程，得yP=

t

6

(xP+2)=

18t

27+t2

，
∴点P（

54-2t2

27+t2

，

18t

27+t2

），
同理，求得点Q（

2t2-6

3+t2

，

-6t

3+t2

），
∴

PF

=(

3t2-27

27+t2

，

-18t

27+t2

)，

FQ

=(

t2-9

3+t2

，

-6t

3+t2

)，
即

PF

=

27+t2

3(3+t2)

FQ

，
∴t∈R，且t≠0，点P、F、Q三点共线．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查代数法求方程的解，考查数形结合、运算求解、转化与化归以及分析与解决问题的能力．