Question

已知等差数列{a_n}，的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n为数列{b_n}的前n项和，f（n）=

2Sn(2-Tn)

n+2

，试问f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项a_n，
将b_n+1=

n+1

2n

b_n整理，得到{

bn

n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，应用等比数列的通项即可求出b_n；
（2）运用错位相减法求出前n项和T_n，化简f（n），运用相邻两项的差f（n+1）-f（n），判断f（n）的增减性，从而判断f（n）是否存在最大值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
则

a1+d=2 5a1+10d=15

解得a₁=1，d=1，
∴a_n=n，
又

bn+1

n+1

=

bn

2n

，
即{

bn

n

}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴

bn

n

=

b1

1

(

1

2

)n-1，
∴bn=

n

2n

；
（2）由（1）得：Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
相减，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

，又S_n=

1

2

n（n+1），
∴f(n)=

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，
∴f(n+1)-f(n)=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
当n＞3时，f（n+1）-f（n）＜0，数列{f（n）}是递减数列，
又f(1)=1，f(2)=

3

2

，f(3)=

3

2

∴f（n）存在最大值，且为

3

2

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项和前n项和的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及应用相邻两项的差来判断数列的增减，应掌握，同时考查基本的运算能力．