Question

设f（x）=cosx+

x2

2

-1．
（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ）若不等式e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x-sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ）解法一：证明以

x2

2

+x+1≥sinx-cosx+2，设G(x)=ex-

x2

2

-x-1，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；
解法二：因为e^ax≥sinx-cosx+2等价于ax≥ln（sinx-cosx+2），设g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：f(x)=cosx+

x2

2

-1（x≥0），则f'（x）=x-sinx，
设φ（x）=x-sinx，则φ'（x）=1-cosx，…（2分）
当x≥0时，φ'（x）=1-cosx≥0，即f'（x）=x-sinx为增函数，
所以f'（x）≥f'（0）=0，
即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．  …（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥-

x2

2

+1，
所以

x2

2

+x+1≥sinx-cosx+2，…（6分）
设G(x)=ex-

x2

2

-x-1，则G'（x）=e^x-x-1，
设g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1，
当x≥0时g'（x）=e^x-1≥0，所以g（x）=e^x-x-1为增函数，
所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，
所以e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（8分）
又x≥0，a≥1时，e^ax≥e^x，
所以a≥1时e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．…（9分）
当a＜1时，设h（x）=e^ax-sinx+cosx-2，则h'（x）=ae^ax-cosx-sinx，h'（0）=a-1＜0，
所以存在实数x₀＞0，使得任意x∈（0，x₀），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x₀）为减函数，
所以在x∈（0，x₀）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（12分）
（Ⅱ）解法二：因为e^ax≥sinx-cosx+2等价于ax≥ln（sinx-cosx+2）…（6分）
设g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），则g′(x)=a-

sinx+cosx

sinx-cosx+2

可求

sinx+cosx

sinx-cosx+2

∈[-1，1]，…（8分）
所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，
所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx-cosx+2），即e^ax≥sinx-cosx+2
所以a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意x≥0恒成立．…（9分）
当a＜1时，一定存在x₀＞0，满足在（0，x₀）时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，x₀）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，
即ax＜ln（sinx-cosx+2），即e^ax＜sinx-cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，
综上所述，a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意x≥0恒成立．…（12分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．