Question

8．已知函数f（x）是偶函数，f（x+1）是奇函数，且对任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，设a=f（$\frac{82}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$），c=f（$\frac{24}{7}$），则下列结论正确的是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． b＞c＞a
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性性质分析可得f（x）=-f（2+x），则有f（x）=f（x+4），可得函数f（x）的周期为4，又由题意分析可得函数f（x）在区间[0，1]上为减函数，进而分析可得a=f（$\frac{82}{11}$）=f（-$\frac{6}{11}$）=f（$\frac{6}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$）=f（$\frac{68}{9}$）=f（-$\frac{4}{9}$）=f（$\frac{4}{9}$），c=f（$\frac{24}{7}$）=f（-$\frac{4}{7}$）=f（$\frac{4}{7}$），结合单调性，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x+1）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，
则有f（-x）=-f（2+x），
又由函数f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），
则f（x）=-f（2+x），
则有f（x）=f（x+4），即函数f（x）的周期为4，
则a=f（$\frac{82}{11}$）=f（-$\frac{6}{11}$）=f（$\frac{6}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$）=f（$\frac{68}{9}$）=f（-$\frac{4}{9}$）=f（$\frac{4}{9}$），
c=f（$\frac{24}{7}$）=f（-$\frac{4}{7}$）=f（$\frac{4}{7}$），
对任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
即函数f（x）在区间[0，1]上为减函数，
又由$\frac{4}{7}$＞$\frac{6}{11}$＞$\frac{4}{9}$，
则有b＞a＞c；
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是分析得到函数的周期．