Question

20．平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（-3，3）．若动点P满足$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（　　）

• A． x-y=0
• B． x+y=0
• C． x+2y-3=0
• D． （x+1）²+（y-2）²=5

Answer 1

分析 由已知向量等式可知P在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，得$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$=$λ（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）+\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{BA}$，即$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BA}$，则P、A、B三点共线．
设P（x，y），则P在AB所在的直线上，
∵A（1，1）、B（-3，3），
∴AB所在直线方程为$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-1}{-3-1}$，整理得：x+2y-3=0．
故P的轨迹方程为：x+2y-3=0．
故选：C．

点评 本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．