Question

16．由区域$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+2y-4≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$中的点在直线ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影构成的线段记为AB，则|AB|的最小值为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
三条直线的交点分别为P（$\frac{4}{5}，\frac{8}{5}$），Q（4，0），R（$\frac{4}{3}，\frac{8}{3}$），因为PQ⊥PR，可行域为Rt△PQR，作斜边RQ的高PT，求值PQ=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，PR=$\frac{8}{3\sqrt{5}}$，RQ=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
所以当直线ax+by+c=0（a，b，c∈R）与PT平行时，区域中的点在直线上的投影构成的线段记为AB最小，
则|AB|的最小值为$\frac{PQ•PR}{RQ}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了简单线性规划问题；关键是明确直线ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影构成的线段AB最小值时直线的位置．运用了数形结合的思想．