题目内容
已知函数f（x）=|x+1|+2|x-a|，a∈R，
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5；
（2）当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＜0时，若关于x的方程2x[f（x）-1]=a在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a的取值范围．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5；
（2）当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＜0时，若关于x的方程2x[f（x）-1]=a在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题
专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）通过绝对值的含义，去绝对值符号，得到f（x），再解f（x）＞5，最后求并集即可；
（2）通过去绝对值，求得f（x）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；
（3）通过a＜0，x＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a的范围．
（2）通过去绝对值，求得f（x）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；
（3）通过a＜0，x＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a的范围．
解答：
解：（1）f（x）=|x+1|+2|x-1|=
，
由
解得，x＜-
；由
解得，x∈∅；
由
解得，x＞2．
则不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，-
）；
（2）当a＞0时，f（x）=
，
当x≤-1时，f（x）≥2a+2，
当-1＜x＜a时，1+a＜f（x）＜2+2a；
当x≥a时，f（x）≥1+a．
即有f（x）的值域为[1+a，+∞）．
当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，即有
3＜1+a，解得，a＞2；
（3）当a＜0且x＞1时，关于x的方程2x[f（x）-1]=a，即为
2x（x+1+2x-2a-1）=a，即为2x（3x-2a）=a，
上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．
则a＜0．
|
由
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| 4 |
| 3 |
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由
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则不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，-
| 4 |
| 3 |
（2）当a＞0时，f（x）=
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当x≤-1时，f（x）≥2a+2，
当-1＜x＜a时，1+a＜f（x）＜2+2a；
当x≥a时，f（x）≥1+a．
即有f（x）的值域为[1+a，+∞）．
当a＞0时，若不等式f（x）＞3恒成立，即有
3＜1+a，解得，a＞2；
（3）当a＜0且x＞1时，关于x的方程2x[f（x）-1]=a，即为
2x（x+1+2x-2a-1）=a，即为2x（3x-2a）=a，
上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．
则a＜0．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（ ）
A、0＜α＜
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B、
| ||||||||
C、α＜
| ||||||||
D、0＜α＜
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