Question

设函数f（x）=x²+bx+b-1（b∈R）．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤4，求b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）分别讨论-1=1-b，-1＜1-b，-1＞1-b的情况，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）通过讨论-

b

2

的范围，从而求出b的范围．

解答： 解：（Ⅰ） x²+bx+b-1＞0（x+1）（x+b-1）＞0
当-1=1-b，即b=2时，解集为{x|x≠-1}；       …（2分）
当-1＜1-b，即b＜2时，解集为{x|x＜-1或x＞1-b}；…（4分）
当-1＞1-b，即b＞2时，解集为{x|x＜1-b或x＞-1}．…（6分）
（Ⅱ） 若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤4，
等价于对任意f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，…（8分）
据此分类讨论如下：
①当-

b

2

＞1，即b＜-2时，M=f（-1）-f（1）=-2b＞4，与题设矛盾；
②当-

b

2

＜-1，即b＞2时，M=f（1）-f（-1）=2b＞4，与题设矛盾；
③当-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2时，M=f(1)-f(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立；
④当0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0时，M=f(-1)-f(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立．                                                  …（10分）
综上可知，-2≤b≤2．  …（12分）

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道中档题．