Question

20．已知a∈R，函数$f（x）=\frac{{{e^x}-a}}{x}-alnx$（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）函数f（x）是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}$，证明：对任意x＞0，g（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$，分以下四种情况讨论：（1）a≤1，（2）1＜a＜e，（3）a=e，（4）a＞e；
（Ⅱ）要证$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要证明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，即证$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，令h（x）=1+xlnx，利用导数可得$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，只需证明e^x-（1+xlnx）＞0即可，变形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，由（Ⅰ）可证明．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-a}）}}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{1}{x^2}[{（{x-1}）（{{e^x}-a}）}]$…（1分）
（1）若a≤1，则e^x＞a，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
所以当x=1时，f（x）取得极小值，函数无极大值；     …（2分）
（2）若1＜a＜e，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的变化情况如下表所示

x	（0，lna）	lna	（lna，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以当x=lna时，函数f（x）取得极大值；…（4分）
（3）当a=e时，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
此时不存在极值              …（5分）
（4）当a＞e时，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），
所以f'（x）和f（x）在（0，+∞）上的变化情况如下表所示

x	（0，1）	1	（1，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以当x=1时，函数f（x）取得极大值； …（7分）
综上所述，当1＜a＜e时，函数f（x）的极大值点是x=lna；
当a＞e时，函数f（x）的极大值点是x=1；
当a≤1或a=e时，函数无极大值点．            …（8分）
（Ⅱ）要证$g（x）=\frac{e^x}{1+xlnx}＞1$，只要证明$\frac{e^x}{1+xlnx}-1＞0$成立，
即证$\frac{{{e^x}-（{1+xlnx}）}}{1+xlnx}＞0$成立，…（9分）
令h（x）=1+xlnx，则h'（x）=1+lnx，
当$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
所以$h（x）≥h（{\frac{1}{e}}）=1+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}＞0$，…（10分）
所以只需证明e^x-（1+xlnx）＞0即可，变形得$lnx＜\frac{{{e^x}-1}}{x}⇒\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx＞0$，
由（Ⅰ）知，当a=1时，$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$…（12分）$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}-lnx$在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）≥f（1）=e-1＞0，即e^x-（1+xlnx）＞0，
故对任意x＞0，g（x）＞1．     …（14分）

点评 本题考查了利用导数求函数极值、最值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．