Question

8．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=a_na_n+1．
（1）计算a₂、a₃、a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）满足a₁=1，2S_n=a_na_n+1．令n=1，可得：2S₁=2a₁=a₁a₂，解得a₂=2，令n=2，3，同理可得：a₃，a₄，猜想a_n=n．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）满足a₁=1，2S_n=a_na_n+1．令n=1，可得：2S₁=2a₁=a₁a₂，解得a₂=2，
令n=2，3，同理可得：a₃=3，a₄=4，猜想a_n=n．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
相减可得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$--$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
可得：T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．