Question

12．已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，其公比q＞1，且b₁＞0，若a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，则（　　）

• A． a₆=b₆
• B． a₆＞b₆
• C． a₆＜b₆
• D． a₆＜b₆或a₆＞b₆

Answer 1

分析 由已知得a₁₁=a₁+10d，${b}_{11}={b}_{1}•{q}^{10}$，${a}_{6}=\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}=\frac{{b}_{1}+{b}_{11}}{2}$=$\frac{{b}_{1}（{q}^{10}+1）}{2}$，${b}_{6}={b}_{1}{q}^{5}$，令q⁵=x，则${a}_{6}=\frac{{b}_{1}（{x}^{2}+1）}{2}$，b₆=b₁x，由此利用基本不等式性质能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，其公比q＞1，且b₁＞0，a₁=b₁，a₁₁=b₁₁，
∴a₁₁=a₁+10d，${b}_{11}={b}_{1}•{q}^{10}$，
${a}_{6}=\frac{{a}_{1}+{a}_{11}}{2}=\frac{{b}_{1}+{b}_{11}}{2}$=$\frac{{b}_{1}（{q}^{10}+1）}{2}$，
${b}_{6}={b}_{1}{q}^{5}$，令q⁵=x，
则${a}_{6}=\frac{{b}_{1}（{x}^{2}+1）}{2}$，b₆=b₁x，
由题意得x＞0，∴$\frac{{x}^{2}+1}{2}$＞x，∴a₆＞b₆．
故选：B．

点评 本题考查等差数列和等比数列的第6项的大小的判断，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．