Question

设集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，其中x∈R．
（1）若-3∈B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）直接把x=-3代入方程x²+2（a+1）x+a²-1=0，求解关于a的方程得答案；
（2）先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．

解答： 解：A={x|x²+4x=0}={-4，0}，
B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，
（1）若-3∈B，则（-3）²+2（a+1）×（-3）+a²-1=0，
解得：a=3-2

7

或a=3+2

7

．
∴实数a的值为3-2

7

或3+2

7

；
（2）A∩B=B知，B⊆A，
∴B={0}或B={-4}或B={0，-4}或B=∅，
若B={0}时，x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的根0，
则

-2(a+1)=0 a2-1=-4×(-4)

，解得a=-1，
若B={-4}时，x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的根-4，
则

-2(a+1)=-8 a2-1=-4×(-4)

，a无解，
若B={0，-4}时，x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等的根0和-4，
则

-2(a+1)=-4 a2-1=0

，解得a=1，
当B=∅时，x²+2（a+1）x+a²-1=0无实数根，△=[2（a+1）]²-4（a²-1）=8a+8＜0，得a＜-1．
综上：a=1或a≤-1．

点评：本题考查集合的包含关系的判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理应用，是中档题．