Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（4）的值；
（2）求满足不等式f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）的值；
（2）由条件和（1）的结论得f[x（x-3）]≤f（4），再由单调性得到不等式组，解之即可．

解答： 解：（1）∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2?f[x（x-3）]≤f（4），
∴

x＞0 x-3＞0 x2-3x≤4

，即

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

，
解得：3＜x≤4．
∴原不等式的解集为：（3，4]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．