Question

已知f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=2ax+

1

x

．
（1）求x＞0时，f（x）的表达式；
（2）a为何值时，f（x）在（1，+∞]上为增函数；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值为-9．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x＞0，则-x＜0，得到f（-x）=-2ax-

1

x

=-f（x），从而得到函数的解析式；
（2）将问题转化为a＞

1

2x2

在（1，+∞）恒成立，求出(

1

2x2

)max＜

1

2

，从而得出答案；
（3）假设存在实数a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值为-9，由f′（x）=0，得到x=

1

a

，代入f（

1

a

）=-9，从而求出a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴-f（x）=f（-x）
当x＜0时，f（x）=2ax+

1

x

，
设x＞0，则-x＜0，f（-x）=-2ax-

1

x

=-f（x），
∴x＞0时，f（x）=2ax+

1

x

，
（2）若f′（x）=2a-

1

x2

＞0在（1，+∞）恒成立，
则：a＞

1

2x2

在（1，+∞）恒成立，
∵(

1

2x2

)max＜

1

2

，
∴a≥

1

2

；
（3）假设存在实数a，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值为-9，
由f′（x）=

2ax-1

x

=0，解得：x=

1

a

，
当x=

1

a

时，f（

1

a

）=2a•

1

a

+a=-9，解得：a=-11，
∴存在实数a=-11，使f（x）在（-∞，0）上取得最大值为-9．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道中档题．