Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，
（1）求该数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，检验n=1时的情况，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知已a_n=2n-1，利用裂项法可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），从而可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又当n=1时，a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，考查数列递推关系式的应用，突出考查裂项法求和的运用，属于中档题．