Question

12．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=$\frac{2π}{3}$．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在$\widehat{MN}$上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
（1）若∠PBC=$\frac{π}{3}$，求PQ的长度；
（2）当点P选择在何处时，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作出辅助线，根据梯形的性质求出PQ的长即可；
（2）设∠PBP₁=θ，求出PQ的长，得到总路径长f（θ）的表达式，通过求导得到函数的单调性，从而求出去最小值时θ的值，即P点的位置即可．

解答 解．（1）如图示：
，
连接BP，过P作PP₁⊥BC，垂足为P₁，过Q作QQ₁⊥BC垂足为Q₁，
在Rt△PBP₁中，$P{P_1}=Q{Q_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，B{P_1}=C{Q_1}=\frac{1}{2}$，PQ=1；
（2）设∠PBP₁=θ，$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
在Rt△QBQ₁中，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
∴总路径长f（θ）=$\frac{2π}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），
f′（θ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ-1=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）-1，
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$，
当$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 时，f'（θ）＜0，
当$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 时，f'（θ）＞0，
所以当$θ=\frac{π}{2}$时，总路径最短．
答：当BP⊥BC时，总路径最短．

点评 本题考查了数形结合思想，考查三角函数问题以及导数的应用，是一道中档题．