Question

18．设函数f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$，其中a，λ∈R．
（I）当a=4，λ=1时，判断函数f（x）在（3，4）上的单调性，并说明理由；
（II）记A₁={（x，y）|x＞0，y＞0}，A₂={（x，y）|x＜0，y＞0}，A₃={（x，y）|x＜0，y＜0}，A₄={（x，y）|x＞0，y＜0}．M={（x，y）|y=f（x）}，若对任意的λ∈（1，3）恒有M∩A_i≠∅（i=1，2，3，4）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当a=4，λ=1时，f（x）=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{{x}^{2}-6x+8}$在（3，4）上单调递减，利用导数法，可证明结论；
（II）有已知可得对任意的λ∈（1，3）恒有函数f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$的图象必过四个象限，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（I）当a=4，λ=1时，f（x）=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{{x}^{2}-6x+8}$在（3，4）上单调递减，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2（2x-6）}{{（x}^{2}-6x+8）^{2}}$，
当x∈（3，4）时，f′（x）＜0恒成立，
故当a=4，λ=1时，函数f（x）在（3，4）上的单调递减；
（II）记A₁={（x，y）|x＞0，y＞0}，
A₂={（x，y）|x＜0，y＞0}，
A₃={（x，y）|x＜0，y＜0}，
A₄={（x，y）|x＞0，y＜0}．
M={（x，y）|y=f（x）}，
若对任意的λ∈（1，3）恒有M∩A_i≠∅（i=1，2，3，4），
则函数f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$的图象必过四个象限，
∵f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$=$\frac{（1-λ）x+aλ-2}{{x}^{2}-（a+2）x+2a}$，
令g（x）=[（1-λ）x+aλ-2]（x²-（a+2）x+2a）=0，
则g（x）的图象必过四个象限，
令g（x）=0，则x=2，x=a，x=$\frac{aλ-2}{λ-1}$=a+$\frac{a-2}{λ-1}$，
若a＜0，则a+$\frac{a-2}{λ-1}$≠a恒成立，满足条件；
若a=0，则a+$\frac{a-2}{λ-1}$=$\frac{-2}{λ-1}$＜0恒成立，满足条件；
若a＞0，则须$\frac{aλ-2}{λ-1}$＜0恒成立，即aλ-2＜0恒成立，即a＜$\frac{2}{λ}$恒成立，
由λ∈（1，3）得：$\frac{2}{λ}$∈（$\frac{2}{3}$，2），
则0＜a≤$\frac{2}{3}$，
综上所述：a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的图象，函数恒成立问题，本题综合性强，转化困难，属于难题．