Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为AB，B₁C₁的中点．
（I）求证：MN∥平面AA₁C₁C；
（II） 若CC₁=CB₁，CA=CB，平面CC₁B₁B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN
（III）若直线A₁B₁与平面CMN的交点为D，试确定$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （I）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．证得四边形AMNP为平行四边形．再由线面平行的判定定理即可得到；
（II）运用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质和判定定理，即可得证．
（III）经N点向A₁B₁作垂线，设垂足为D，连接DM，可证ND∥CM，取A₁B₁的中点E，连接C₁E，则ND∥C₁E，由于N为C₁B₁的中点，E为A₁B₁的中点，利用三角形中位线定理即可得解$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$的值．

解答 证明：（I）取A₁C₁的中点P，连接AP，NP．
因为：C₁N=NB₁，C₁P=PA₁，
所以：NP∥A₁B₁，NP=$\frac{1}{2}$A₁B₁．   
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB．
故：NP∥AB，且NP=$\frac{1}{2}$AB．
因为：M为AB的中点，所以AM=$\frac{1}{2}$AB．
所以：NP=AM，且NP∥AM．
所以：四边形AMNP为平行四边形．
所以：MN∥AP．                          
因为：AP?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
所以：MN∥平面AA₁C₁C．             
（II）因为：CA=CB，M为AB的中点，所以：CM⊥AB．      
因为：CC₁=CB₁，N为B₁C₁的中点，所以：CN⊥B₁C₁．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，所以：CN⊥BC．
因为：平面CC₁B₁B⊥平面ABC，平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC．CN?平面CC₁B₁B，
所以：CN⊥平面ABC．                       
因为：AB?平面ABC，所以CN⊥AB．          
因为：CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN=C，
所以：AB⊥平面CMN．
（III）如图，经N点向A₁B₁作垂线，设垂足为D，连接DM，
因为：ND⊥A₁B₁，AB∥A₁B₁，
所以：ND∥CM，
取A₁B₁的中点E，连接C₁E，则由C₁E∥AB，
所以：ND∥C₁E，
因为：N为C₁B₁的中点，E为A₁B₁的中点，
所以：$\frac{{B}_{1}D}{{B}_{1}E}=\frac{1}{2}$，$\frac{{B}_{1}E}{{A}_{1}{B}_{1}}=\frac{1}{2}$，
所以：$\frac{{B}_{1}D}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的判定定理和线面、面面垂直的判定和性质定理，考查逻辑推理能力，注意定理的条件的全面性，属于中档题．