Question

19．设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-4|≥m对一切实数x均成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，分当x≥4时，当-$\frac{1}{2}$≤x＜4时，当x＜-$\frac{1}{2}$时，分别解一次不等式，再求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x-4|的最小值，即可得到m的范围，从而求m的最大值．

解答 解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，
得x＞-5，所以x≥4成立；
当$-\frac{1}{2}≤x＜4$时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，
得x＞1，所以1＜x＜4成立；
当$x＜-\frac{1}{2}$时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5成立．
综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜-5}．--------（5分）
（2）令F（x）=f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，
当$-\frac{1}{2}≤x≤4$时等号成立．
即有F（x）的最小值为9，
所以m≤9． 即m的最大值为9．---------（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．