Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A₁，右焦点为F₂，过点F₂作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N两点，直线A₁M的斜率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△A₁MN的外接圆在M处的切线与椭圆交于另一点D，且△F₂ MD的面积为$\frac{12}{7}$，求该椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知列方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，即可求得M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），由斜率公式可求得a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3c}^{2}}=1$，设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²+（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，求得T（-$\frac{c}{8}$），求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨CD丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得c的值，求得椭圆方程．

解答 解：由题意可知：设M（x，y），由$\left\{\begin{array}{l}{x=c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a+c}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{a-c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由b²=a²-c²=4c²-c²=3c²，
∴b=$\sqrt{3}$c，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{3c}^{2}}=1$，M（c，$\frac{3}{2}$c），A₁（-2c，0），
设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²=（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，
整理得：6tc=-$\frac{3}{4}$c²，
∴t=-$\frac{c}{8}$，
∴T（-$\frac{c}{8}$，0），
∴k_DM=$\frac{\frac{3}{2}c}{c+\frac{c}{8}}$=$\frac{4}{3}$，
∴切线斜率k=-$\frac{3}{4}$，
∴切线方程为y-$\frac{3}{2}$c=-$\frac{3}{4}$（x-c），即3x+4y-9c=0，
代入椭圆方程消y得7x²-18cx+11c²=0，
△=18²c²-4×7×11c²=16c²＞0，
x_D=$\frac{11c}{7}$，y_D=$\frac{25c}{14}$，
∴丨CD丨=$\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}+（{y}_{C}-{y}_{D}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{11c}{7}-c）^{2}+（\frac{15c}{14}-\frac{3c}{2}）^{2}}$=$\frac{5c}{7}$，
F₂点到CD的距离d=$\frac{丨3c-9c丨}{5}$=$\frac{6c}{5}$，
由S=$\frac{1}{2}$丨CD丨•d，得$\frac{12}{7}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5c}{7}$×$\frac{6c}{5}$=$\frac{3}{7}{c}^{2}$，
∴c²=4，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．