Question

1．已知函数f（x）=x+$\frac{t}{x}$（t＞0）有如下性质：该函数在（0，$\sqrt{t}$]上是减函数，在[$\sqrt{t}$，+∞）是增函数
（1）若g（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求g（x）的解析式
（2）已知函数h（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$（x∈[0，1]），利用上述性质，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求函数的解析式；
（2）把已知函数解析式变形，换元后结合对勾函数的单调性求得函数值域．

解答 解：（1）由g（x+$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$（x+\frac{1}{x}）^{2}-2$，
得g（x）=x²-2（x≥2或x≤-2）；
（2）h（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=$\frac{（2x+1）^{2}-8（2x+1）+4}{2x+1}$=$（2x+1）+\frac{4}{2x+1}-8$．
∵x∈[0，1]，∴2x+1∈[1，3]，
令2x+1=t，（t∈[1，3]），
则函数f（t）=t+$\frac{4}{t}-8$在[1，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数，
∵f（1）=-3，f（2）=-4，f（3）=-$\frac{11}{3}$．
∴f（t）∈[-4，-3]，故函数h（x）的值域为[-4，-3]．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了对勾函数的性质，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是中档题．