Question

20．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班36名女同学，24名男同学中随机抽取一个容量为5的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，男女学生各抽几个人？
（2）若这5位同学的政治、历史分数对应如表：

学生编号	1	2	3	4	5
政治分数x	89	91	93	95	97
历史分数y	87	89	89	92	93

根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明政治成绩y与历史成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$；回归直线的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中对应的回归估计值b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$是与x_i对应的回归估计值．参考值：$\sqrt{15}$≈3.9．

Answer 1

分析 （1）做出女生和男生在总人数中所占的比例，用比例乘以要抽取的样本容量，得到结果．
（2）先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

解答 解：（1）男生5×$\frac{24}{60}$=2人，女生5×$\frac{36}{60}$=3人；
（2）可求得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（89+91+93+95+97）=93，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（87+89+89+92+93）=90，
$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=40，$\sum_{i=1}^{5}$$（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$=24，$\sum_{i=1}^{5}$$（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=30，
r=$\frac{30}{\sqrt{40×24}}$≈0.97，有较强的线性相关关系，
b=$\frac{30}{40}$=0.75，a=20.25，线性回归方程是y=0.75x+20.25．

点评 本题考查线性回归分析的初步应用，考查分层抽样，考查了学生的数据处理能力和应用意识，考查利用数学知识解决实际问题的能力，是一个比较好的综合题目．