Question

已知函数f（x）=a lg(x2-2x+3)（a＞0，a≠1）在R上有最小值2．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=x²-2x+3=（x-1）²+2，显然t＞0恒成立，且t的最小值为2，t无最大值．根据题意可得a＞1，且 a^lg2=2，由此求得a的值．
（2）由于f（x）=10^t，故f（x）的单调增区间即函数t的增区间，f（x）的单调减区间即函数t的减区间，再结合二次函数t的性质可得结论．

解答： 解：（1）令t=x²-2x+3=（x-1）²+2，显然t＞0恒成立，且函数t在（-∞，1）上递减，在[1，+∞）上单调递增，
故t的最小值为2，t无最大值．
∵函数f（x）=a lg(x2-2x+3)=alg[(x-1)2+2] （a＞0，a≠1）在R上有最小值2，
可得a＞1，且 a^lg2=2，∴a=10．
（2）由于f（x）=a^t=10^t，故f（x）的单调增区间即函数t的增区间，为[1，+∞）；
f（x）的单调减区间即函数t的减区间，为（-∞，1）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．