Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=1相交，则双曲线两渐近线的夹角取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相交：d＜r，求得a²＞3b²，再由两直线的夹角公式，即可得到夹角的范围．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线为y=±

b

a

x，
由于渐近线与圆（x-2）²+y²=1相交，则

2b

a2+b2

＜1，
即有a²＞3b²，即

a

b

＞

3

，
由于双曲线两渐近线的夹角的正切为|

2b a

1- b2 a2

|=|

2ab

a2-b2

|=

2

a b - b a

则有

a

b

-

b

a

＞

2 3

3

，则夹角的正切的范围是：（0，

3

），
即有夹角的范围为（0，

π

3

）．
故答案为：（0，

π

3

）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线的夹角公式和运用，考查运算能力，属于中档题．