Question

若等差数列{a_n}中，a₁=3，a₄=12，{b_n-a_n}为等比数列，且数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₄=12，∴12=3+3d，解得d=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
∵{b_n-a_n}为等比数列，设公比为q，
又数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20．
∴b4-a4=(b1-a1)q3，即（20-12）=（4-3）q³，解得q=2．
∴bn-an=2n-1，
∴b_n=3n+2^n-1．
（2）由（1）可得数列{b_n}的前n项和=3（1+2+…+n）+1+2+2²+…+2^n-1
=

3n(n+1)

2

+

2n-1

2-1

=

3n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．