Question

当x＜1，a＞-1，关于x的式子

x2-2x+a+2

x-1

的最大值为-4，求a的值及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：化简

x2-2x+a+2

x-1

=

(x-1)2+a+1

x-1

=（x-1）+

a+1

x-1

=-[[-（x-1）]+（-

a+1

x-1

）]，对[-（x-1）]+（-

a+1

x-1

）利用基本不等式求值．

解答： 解：

x2-2x+a+2

x-1

=

(x-1)2+a+1

x-1

=（x-1）+

a+1

x-1

，
∵x＜1，a＞-1，
∴x-1＜0，

a+1

x-1

＜0，
则[-（x-1）]+（-

a+1

x-1

）≥2

a+1

，
（当且仅当（x-1）²=a+1时，等号成立），
又∵

x2-2x+a+2

x-1

的最大值为-4，
∴2

a+1

=4，
则a=3，从而得最大值时，x=-1．

点评：本题考查了学生的化简能力与转化为基本不等式的形式，从而借助基本不等式求解，属于中档题．