Question

在平面直接坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-

3

y-4=0相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+3与圆C交于A，B两点，在圆C上是否存在一点M，使得

OM

=

OA

+

OB

，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：（Ⅰ）由直线x-

3

y-4=0与圆O相切，圆心到直线的距离d等于半径r，求出半径，得圆的方程；
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得

OM

=

OA

+

OB

，理由为：
法1：求出直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，且满足

OM

=

OA

+

OB

时，k的值是否存在即可；
法2：求出OM与AB的交点C（x₀，y₀），由中点公式得出点M的坐标，把M的坐标代入圆方程，求出直线的斜率k即可．

解答： 解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x-

3

y-4=0与圆O相切，
∴d=r=

|1×0- 3 ×0-4|

12+( 3 )2

=2，…（3分）
∴圆O的方程为x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得

OM

=

OA

+

OB

，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=

3

1+k2

＜r=2，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，…（7分）
假设存在点M，使得

OM

=

OA

+

OB

，∴四边形OAMB为菱形，…（8分）
∴OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=

1

2

|OM|=1，…（10分）
即d=

3

1+k2

=1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得

OM

=

OA

+

OB

；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x₀，y₀），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=-

1

k

x，…（7分）
将直线l与直线OM联立得

y=kx+3 y=- 1 k x

，
解得

x0= -3k k2+1 y0= 3 k2+1

；
∴点M坐标为（

-6k

k2+1

，

6

k2+1

），…（9分）
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：(

-6k

k2+1

)2+(

6

k2+1

)2=4，
解得：k²=8，…（11分）
∴k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得

OM

=

OA

+

OB

．…（13分）

点评：本题考查了直线与圆的应用问题，解题时应灵活应用直线与圆的位置关系，利用向量进行转化问题，是综合性题目．