Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆上位于第一象限上的点，为椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，，的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点（、在直线的同侧），若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）x﹣y﹣20．

【解析】

（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和、、的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得、，进而得到所求椭圆方程；

（Ⅱ）求得的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线、的斜率互为相反数，设直线，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得，同理可得，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到，进而得到所求直线方程．

（Ⅰ）椭圆的离心率为，

即，可得，，

由，可得为的中点，

所以，即，

所以，即，，，

所以椭圆的方程为1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，右焦点为，

因为，所以，所以，

又，直线、的斜率互为相反数，

设直线，联立椭圆方程，

消去，可得，

设、，则，所以，

将换为，同理可得，，，

，

所以直线的方程为，即．