Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-

1

4x

+

1

2x

，则此函数的值域为

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数的值域

专题：换元法,函数的性质及应用

分析：设t=

1

2x

，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．

解答： 解：设t=

1

2x

，当x≥0时，2^x≥1，∴0＜t≤1，
f（t）=-t²+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
∴0≤f（t）≤

1

4

，
故当x≥0时，f（x）∈[0，

1

4

]；
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[-

1

4

，0]；
故函数的值域时[-

1

4

，

1

4

]．

点评：本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．