Question

已知

a

、

b

为非零向量，m=

a

+t

b

（t∈R），若|

a

|=1，|

b

|=2，当且仅当t=

1

4

时，|m|取得最小值，则向量

a

、

b

的夹角为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵向量

m

=

a

+t

b

（t∈R），|

a

|=1，|

b

|=2，
∴|

m

|=

a 2+t2 b 2+2t a • b

=

4t2+4tcosθ+1

=

4(t+ 1 2 cosθ)2+sin2θ

，
∵当且仅当t=

1

4

时，|m|取得最小值，
∴

1

4

+

1

2

cosθ=0，化为cosθ=-

1

2

，
∴θ=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题考查了数量积的定义和性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．