Question

19．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB=bcosA，4S=2a²-c²，其中S是△ABC的面积，则C的大小为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化acosB=bcosA，得出△ABC是等腰三角形，即a=b；由△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC，结合4S=2a²-c²，求出sinC=cosC，从而得出角C的值．

解答 解：△ABC中，acosB=bcosA，
∴sinAcosB=sinBcosA，
∴sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∴A=B，∴a=b；
又△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC，
且4S=2a²-c²，
∴2absinC=2a²-c²=a²+b²-c²，
∴sinC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=cosC，
∴C=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．