Question

10．设△ABC面积的大小为S，且3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2S．
（1）求sinA的值；
（2）若C=$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=16，求AC．

Answer 1

分析 （1）用三角形面积公式表示出S和向量的数量积公式，即可确定出sinA
（2）由sinB=sin（A+C），求出sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答 解：（1）设△ABC的三边长分别为a，b，c，由3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2S．
得3bccosA=2×$\frac{1}{2}$bcsinA，得sinA=3cosA．
即sin²A=9cos²A=9（1-sin²A），所以$\frac{9}{10}$，
又A∈（0，π），所以sinA＞0，
故sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（2）由sinA=3cosA和sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$得cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
又$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=16，
所以bccosA=16，得bc=16$\sqrt{10}$ ①．
又C=$\frac{π}{4}$，
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在△ABC中，由正弦定理，得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，得c=$\frac{\sqrt{10}}{4}$b　②．
联立①②，解得b=8，即AC=8．

点评 此题考查了正弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．