Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，-1）$，向量$\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，-\frac{1}{2}）$，函数$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式及其图象的对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据函数$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．利用向量的运算可得f（x），化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
（2）根据三角函数的平移变换规律求出g（x）的解析式，结合三角函数的性质可得其图象的对称中心．

解答 解：向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，-1）$，向量$\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，-\frac{1}{2}）$，
（1）f（x）=$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$=${\overrightarrow{m}}^{2}+\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$3{sin^2}\frac{x}{2}+1+\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{2}（{1-cosx}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$
令 $2kπ+\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
得$2kπ+\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{11π}{6}$，
∴f（x）的单调减区间为$[{2kπ+\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{11π}{6}}]$，k∈Z．
（2）由（1）知 $f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$，把$f（x）=\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{3}）+3$的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到$y=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}）+3$的图象，再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到$y=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）+3$的图象，
因此$g（x）=\sqrt{3}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）+3$，
令$\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}=kπ$，
得 $x=2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z
∴函数y=g（x）图象的对称中心为$（2kπ+\frac{π}{3}，3）$，k∈Z．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题