题目内容
已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若m=
，数列{bn}满足关系式bn=
，求证：数列{bn}的通项公式为bn=2n-1；
（3）设（2）中的数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，（1-n）•（Sn+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若m=
| 2an |
| 2n+2 |
|
（3）设（2）中的数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，（1-n）•（Sn+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．
考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析：（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．
解答：
解：（1）设等差数列an的公差为d，
由已知，有
解得
所以an=3+2（n-1）=2n+1，
即差数列an的通项公式为an=2n+1，n∈N*．
（2）因为m=
=
=2n-1，
所以，当n≥2时，bn=bn-1+2n-1．
证法一（数学归纳法）：
①当n=1时，b1=1，结论成立；
②假设当n=k时结论成立，即bk=2k-1，
那么当n=k+1时，bk+1=bk+2k=2k-1+2k=2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
由①，②得，当n∈N*时，bn=2n-1成立．
证法二：当n≥2时，bn-bn-1=2n-1，
所以
将这n-1个式子相加，得bn-b1=2+22+23+…+2n-1，
即bn=1+2+22+…+2n-1=
=2n-1．
当n=1时，b1=1也满足上式．
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1．
（3）由（2）bn=2n-1，所以Sn=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-(n+2)，
∴原不等式变为（1-n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2-2n+1，
∴p＜
-1对任意n∈N*恒成立，
∵n为任意的正整数，
∴p≤-1．
∴m的取值范围是（-∞，-1]．
由已知，有
|
|
所以an=3+2（n-1）=2n+1，
即差数列an的通项公式为an=2n+1，n∈N*．
（2）因为m=
| 2an |
| 2n+2 |
| 22n+1 |
| 2n+2 |
所以，当n≥2时，bn=bn-1+2n-1．
证法一（数学归纳法）：
①当n=1时，b1=1，结论成立；
②假设当n=k时结论成立，即bk=2k-1，
那么当n=k+1时，bk+1=bk+2k=2k-1+2k=2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
由①，②得，当n∈N*时，bn=2n-1成立．
证法二：当n≥2时，bn-bn-1=2n-1，
所以
|
将这n-1个式子相加，得bn-b1=2+22+23+…+2n-1，
即bn=1+2+22+…+2n-1=
| 1-2n |
| 1-2 |
当n=1时，b1=1也满足上式．
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1．
（3）由（2）bn=2n-1，所以Sn=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-(n+2)，
∴原不等式变为（1-n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2-2n+1，
∴p＜
| 1 |
| 2n |
∵n为任意的正整数，
∴p≤-1．
∴m的取值范围是（-∞，-1]．
点评：本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．
练习册系列答案
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已知2x=3y=a，且
+
=2，则a的值为（ ）
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
A、
| ||
| B、6 | ||
C、±
| ||
| D、36 |
