Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=

an

3n

（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列．
（Ⅱ）设S_n=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

，求满足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列与不等式的综合

专题：计算题

分析：（I）由已知求出bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

an+1-3an

3n+1

=

3n

3n+1

=

1

3

满足等差数列的定义．
（II）由题意可先求a_n，进一步求出 

an

n+2

=3n-1利用等比数列的前n项和公式求出S_n 求出满足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整数n的值．

解答： （I）证明：∵b_n=

an

3n

，a_n+1-3a_n=3ⁿ（n∈N^*），
∴bn+1-bn=

an+1

3n+1

-

an

3n

=

an+1-3an

3n+1

=

3n

3n+1

=

1

3

∴数列{b_n}是首项为1，公差为

1

3

的等差数列．
（II）bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，
∵an=3nbn=(n+2)•3n-1，
∴

an

n+2

=3n-1，
∴S_n=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

=1+3+3²+3³…+3^n-1
=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，
∴S2n=

32n-1

2

，
∴

Sn

S2n

=

1

3n+1

，

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

∴

1

128

＜

1

3n+1

＜

1

4

解得1＜n＜5
∴n=2，3，4

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列，及等差数列的通项公式的应用，数列求和方法的应用．