Question

若函数f）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R）
（1）求函数f（x）的周期及对称轴方程；
（2）若函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为5，求函数f（x）在[0，

π

2

]区间上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，f（x）=2sin（2x+

π

6

）a+1+a，然后，确定该函数的周期和对称轴方程；
（2）直接根据x∈[0，

π

2

]，得到函数的值域，然后，借助于其最小值为5，从而确定a的取值，最后，求解该函数的最大值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R）
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）a+1+a
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的周期π，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z，
∴x=

π

6

+

1

2

kπ，
∴函数f（x）的对称轴方程x=

π

6

+

1

2

kπ，k∈Z；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[

1

2

+a，

3

2

+a]，
∵

1

2

+a=5，
∴a=

9

2

，
∴数f（x）在[0，

π

2

]区间上的最大值

3

2

+

9

2

=6．

点评：本题综合考查了三角公式及其灵活运用，辅助角公式、三角函数的最值等知识，属于中档题．