Question

小乐星期六下午从文具超市买了一套立体几何学具，他发现学具袋里有三组长度相等的塑料棒，长度分别为1，

2

，2，而且每组恰有三根，于是想利用它们拼出正三棱锥．设拼出的正三棱锥的侧棱长为l，底面正三角形的边长为s．
（1）若小乐选取l=1，s=

2

，现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条，求这两条棱互相垂直的概率；
（2）若小乐随机地选取l，s，可以拼出m个不同的正三棱锥．设从每个正三棱锥的六条棱中随机选取两条，这两条棱互相垂直的概率为X，请分别写出其相应的X的值（不用写出求解X的计算过程）．小乐再从拼出的m个正三棱锥中任选两个，求他所选的两个正三棱锥的X值相同的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,棱锥的结构特征

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）利用列举法确定从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条的选法，两条棱互相垂直的选法，利用古典概型的概率公式，可得结论；
（2）确定可以拼出5个正三棱锥，可得从中任选两个，共有10种选法，所选的两个正三棱锥的X值相同共有4种选法，即可求出他所选的两个正三棱锥的X值相同的概率．

解答： 解：（1）如图，设小乐所拼的正三棱锥P-ABC的三条侧棱分别记为a，b，c，底面正三角形ABC的三边分别记为d，e，f，
从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条，共有15种选法，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f）（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）…（3分）
因为l=1，s=

2

，由勾股定理可知∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
又正三棱锥的对棱互相垂直，所以其中两条棱互相垂直的选法共有6种，分别为：（a，b），（b，c），（a，c），（a，d），（b，e），（c，f），
记事件“两条棱互相垂直”为A，所以所求概率为P(A)=

6

15

=

2

5

．…（6分）
（2）由题意，l=1，s=2时不能拼成正三棱锥，所以可以拼出5个正三棱锥，依次为
①l=1，s=

2

，X=

2

5

；②l=

2

，s=1，X=

1

5

；③l=

2

，s=2，X=

2

5

；
④l=2，s=1，X=

1

5

；⑤l=2，s=

2

，X=

1

5

；
从中任选两个，共有10种选法，所选的两个正三棱锥的X值相同共有4种选法，
所以他所选的两个正三棱锥的X值相同的概率为

4

10

=

2

5

．

点评：本题考查概率的计算，考查列举法确定基本事件，正确确定基本事件的个数是关键．