Question

已知函数f（x）=

2cos4x-3cos2x+1

cos2x

，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，根据函数为分式函数，分母不为零，得到函数的定义域，然后，化简函数解析式：f（x）=-sin²x，然后，借助于函数为偶函数的概念，进行判断奇偶性．最后，根据三角函数的图象与性质求解其值域．

解答： 解：∵cos2x≠0，
∴2x≠

π

2

+kπ，（k∈Z），
∴x≠

π

4

+

kπ

2

，（k∈Z），
∴f（x）的定义域{x|x≠

π

4

+

kπ

2

，（k∈Z）}
∵f（x）=

2cos4x-3cos2x+1

cos2x

=

(2cos2x-1)(cos2x-1)

2cos2x-1

=cos²x-1
=-sin²x，
∴f（-x）=-sin²（-x）=-sin²x=f（x），
∴f（x）是偶函数． 
显然-sin²x∈[-1，0]，
又∵x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，
∴-sin²x≠-

1

2

．
∴原函数的值域为{y|-1≤y＜-

1

2

或-

1

2

＜y≤0}．

点评：本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．