Question

已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log₂x的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）当x∈[0，2]时的最大值和最小值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设f（x）=ax（x-1），由顶点(

1

2

，-

a

4

)在函数y=log₂x的图象上，能求出f（x）=4x²-4x．
（Ⅱ）由f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，能求出函数f（x）当x∈[0，2]时的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
顶点坐标为(

1

2

，-

a

4

)，…（4分）
∵顶点在函数y=log₂x的图象上，
∴-

a

4

=log2

1

2

，解得a=4，
∴f（x）=4x²-4x．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x）=4x²-4x=4（x-

1

2

）²-1，

1

2

∈[0，2]，且|0-

1

2

|＜|2-

1

2

|，
∴ymin=f(

1

2

)=-1，ymax=f(2)=8，
∴函数f（x）当x∈[0，2]时的最大值是8，最小值是-1．…（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．