Question

设函数f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）（e是自然对数的底数）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f^-1（

3

4

）的值；
（3）求使f（x）=a有解的常数a的取值范围．

Answer 1

考点：反函数,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据反函数的定义解方程求f（x）=

3

4

即可；
（3）求出函数f（x）的值域即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）（e是自然对数的底数），
∴f（-x）=）=

1

2

（e^-x-e^x）=-

1

2

（e^x-e^-x）=-f（x），
即函数f（x）为奇函数；
（2设求f^-1（

3

4

）=x，则f（x）=（

3

4

），
即f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）=

3

4

，
∴e^x-e^-x=

3

2

，
即2（e^x）²-3e^x-2=0，
解得e^x=2或e^x=-

1

2

（舍去），
即x=ln2，
∴f^-1（

3

4

）=ln2．
（3）∵f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）在R上为增函数，
∴当x→+∞时，y→+∞，
当x→-∞时，y→-∞，
即函数f（x）的值域为R，
∴使f（x）=a有解的常数a∈R．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用反函数的性质解方程，考查学生的计算能力．