题目内容
已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立？请说明理由．
考点：函数恒成立问题
专题：导数的综合应用
分析：将不等式转化为
＜
，构造函数g（x），利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
| f(a+x) |
| ea+x |
| f(a) |
| ea |
解答：
解：存在，
不等式f（a+x）＜f（a）ex可转化为f（a+x）＜f（a）e（a+x-a），
即
＜
，当x＞0时恒成立，
设g（x）=
，
则g′（x）=
，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=
-lnx-1，h″（x）=-
-
＜0，（x＞0）
故h'（x）在（0，+∞）上单减，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3时，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上单减，
故存在m满足条件，m应为方程lnx+1=xlnx的解，数值在（2，3）中．
不等式f（a+x）＜f（a）ex可转化为f（a+x）＜f（a）e（a+x-a），
即
| f(a+x) |
| ea+x |
| f(a) |
| ea |
设g（x）=
| f(x) |
| ex |
则g′（x）=
| lnx+1-xlnx |
| ex |
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
故h'（x）在（0，+∞）上单减，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3时，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上单减，
故存在m满足条件，m应为方程lnx+1=xlnx的解，数值在（2，3）中．
点评：本题主要考查不等式恒成立的判断，利用条件将不等式进行转换，构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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若椭圆
+y2=1的焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（ ）
| x2 |
| 4 |
| A、2 | ||
| B、4 | ||
| C、8 | ||
D、2
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