Question

已知函数f（x）=cos（2x+

π

3

）-cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是x=

2π

3

③函数f（x）图象的一个对称中心为（

5π

12

，0）
④函数f（x）的递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
则正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：展开两角和的余弦公式后合并同类项，然后化积化简f（x）的解析式．
①由周期公式求周期，再由f（0）≠0说明命题错误；
②③直接代值验证说明命题正确；
④由复合函数的单调性求得增区间说明命题正确．

解答： 解：∵f（x）=cos（2x+

π

3

）-cos2x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

-cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=-sin(2x+

π

6

)．
∴T=

2π

2

=π，即函数f（x）的最小正周期为π，
但f(0)=-sin

π

6

=-

1

2

≠0，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；
∵f(

2π

3

)=-sin(2×

2π

3

+

π

6

)=-sin

3π

2

=1，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=

2π

3

．命题②正确；
∵f(

5π

12

)=-sin(2×

5π

12

+

π

6

)=-sinπ=0，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（

5π

12

，0）．命题③正确；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．命题④正确．
∴正确结论的个数是3个．
故选：C．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，考查了复合函数的单调性的求法，关键是对教材基础知识的记忆，是中档题．