Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
（1）证明：CP⊥BD；
（2）若AP=PC=2$\sqrt{2}$，求二面角A-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能证明CP⊥BD；
（2）作PO⊥AC于点O，则PO⊥底面ABCD，以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求得平面PAB与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BP-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形，
又AC平分∠BCD，故AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∵CP?平面PAC，∴CP⊥BD；
（2）解：如图，记BD交AC于点E，作PO⊥AC于点O，
则PO⊥底面ABCD，
∵AP=PC=2$\sqrt{2}$，AC=4，∴∠APC=90°，PO=2，
则EC=CD•cos60°=1，ED=CD•sin60°=$\sqrt{3}$，
以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，-2，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PA}=（0，-2，-2），\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，1，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$．
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=-2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，-1，1）$；
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow{n}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{\frac{7}{3}}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角A-BP-C的余弦值为$-\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．