Question

9．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线倾斜角为$\frac{π}{3}$，则双曲线C的离心率为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线的焦点位置，分类讨论：$\frac{b}{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}{b}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，根据c²=a²+b²即可求得即可求得a和c的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．

解答 解：∵以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，
当双曲线的焦点在x轴上时，$\frac{b}{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
当双曲线的焦点在y轴上时，$\frac{a}{b}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
当$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$时，b=$\sqrt{3}$a，
c²=a²+3a²=4a²，c=2a，
此时e=$\frac{c}{a}$=2，
当$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，时，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，c²=a²+b²=a²+$\frac{1}{3}$a²=$\frac{4}{3}$a²，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
此时e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴双曲线C的离心率2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，

点评 本题考查双曲线的渐近线方程及双曲线的离心率公式，考查分类讨论思想，属于中档题．