Question

6．已知函数f（x）=|x-a|-|x-4|，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为转化为|f（x）|_max≤2，通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ） 由|x+1|-|x-4|≥4得：
①$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-5≥4\end{array}\right.⇒∅$或  ②$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤4\\ 2x-3≥4\end{array}\right.⇒\left\{{\left.x\right|\frac{7}{2}≤x≤4}\right\}$或  ③$\left\{\begin{array}{l}x＞4\\ 5≥4\end{array}\right.⇒\left\{{x\left|{x＞4}\right.}\right\}$，
综上所述f（x）≥4的解集为$[{\frac{7}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）?x∈R，|f（x）|≤2恒成立，可转化为|f（x）|_max≤2
分类讨论
①当a=4时，f（x）=0≤2显然恒成立．
②当a＜4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-4，（x＜a）}\\{2x-a-4，（a≤x≤4）}\\{-a+4，（x＞4）}\end{array}\right.$，
③当a＞4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-4，（x＜4）}\\{-2x+a+4，（4≤x≤a）}\\{-a+4，（x＞a）}\end{array}\right.$，
由②③知，|f（x）|_max=|a-4|≤2，
解得2≤a≤6且a≠4，
综上所述：a的取值范围为[2，6]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．